Question

一道高中数学函数问题！急！！！

设函数f(x)=ax-(a+1)㏑(x+1)，其中a＞0。①求f(x)的单调区间。②设f(x)的最小值为g(a),证明：-1/a＜g(a)＜0

Answer 1

第一问：

由㏑(x+1)知道，x>-1

所以x+1>0

对f(x)求导数

f^` (x)=a-(a+1)/(x+1)=(ax+a-a-1)/(x+1)=a(x-1/a)/(x-(-1) )

f^` (x)≥0时，函数单调增加

f^` (x)≤0时，函数单调减少

所以利用数轴标根法有：

f(x)的单增区间是【 1/a，+∞） 

f(x)的单减区间是(-1,1/a]

第二问：

由第一问知道，f(x)的最小值只可能在f(1/a)

所以有a=1/a

又因为a＞0，所以a=1

f(x)=ax-(a+1)㏑(x+1)=x-2㏑(x+1)

f(1)=1-2ln2

而1-2ln2=ln e-2ln2=ln e-ln4=lne/4

而e≈2.7

所以-1=ln(1/2)<lne/4<ln1=0

证明完毕！

Answer 2

求导,当x>1/a时单调递减，x<1/a时单调递增
证明不会。
PS：你丫的，这明明是高数好不好，高数=\高中数学
囧

Answer 3

解：
①
由已知得函数f(x)的定义域为(-1, +∞)且f'(x)=(ax-1)/(x+1)
当x∈(-1,1/a]时,f'(x)=<0,函数f(x)在 (-1,1/a]上单调递减.
当x∈(1/a,+∞)时,f'(x)=>0,函数f(x)在(1/a,+ ∞)上单调递增.
当a>0时,函数f(x)在(-1,1/a)上单调递减,函数f(x)在(1/a, ,+∞)上单调递增.
②由函数的单调性知，f(x)的最小值在x=1/a时取得
即g(a)=f(1/a)=1-(a+1)ln(1+1/a)
因为a＞0，所以1/a>ln[(1+a)/a],所以1+1/a-(a+1)ln(1+1/a)>0
得g(a)>-1/a
因为（1+1/a)^a=e,所以ln（1+1/a)^(a+1)>1，所以1-(a+1)ln(1+1/a)<0
得g(a)<0
即证得-1/a＜g(a)＜0