CD是△ABC的高,D在AB上,且CD²=AD×DB,求证:△ABC是直角三角形
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AC²=AD²+CD²
BC²=BD²+CD²
AC²+BC²=AD²+BD²+2CD²
因为CD²=AD×DB
所以AC²+BC²=AD²+BD²+2AD×DB=(AD+BD)²=AB²
所以△ABC是直角三角形
BC²=BD²+CD²
AC²+BC²=AD²+BD²+2CD²
因为CD²=AD×DB
所以AC²+BC²=AD²+BD²+2AD×DB=(AD+BD)²=AB²
所以△ABC是直角三角形
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用射影定理
由 CD²=AD×DB 得 △ADC∽△CDB ∴∠A=∠DCB
∵CD为AB边上高 ∴CD⊥AB ∴Rt△ACD和Rt△CDB
∵∠A+∠ACD=90°=∠ADC ∴∠DCB+∠ACD=90°
即∠ACB=90° ∴Rt△ABC
由 CD²=AD×DB 得 △ADC∽△CDB ∴∠A=∠DCB
∵CD为AB边上高 ∴CD⊥AB ∴Rt△ACD和Rt△CDB
∵∠A+∠ACD=90°=∠ADC ∴∠DCB+∠ACD=90°
即∠ACB=90° ∴Rt△ABC
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