Question

数学高手进！！！ 线性代数问题 证明上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵

在上三角矩阵存在逆矩阵的情况下

Answer 1

设P为上三角矩阵，Q不是；且Q是P的逆矩阵。由Q不是上三角矩阵，存在i>j使得Q(ij)≠0。取Q的第j列中最下面一个非零元，假设在第l行（则l>=i>j），则Q(lj)≠0，且对任意k>l有Q(kj)=0。所以
(PQ)(lj)=∑_k P(lk)Q(kj)=∑_{k<l} P(lk)Q(kj)+∑_{k=l} P(lk)Q(kj)+∑_{k>l} P(lk)Q(kj)

由P为上三角矩阵，当k<l时总有P(lk)=0，所以第一项等于0；由l的取法，当k>l时总有Q(kj)=0，所以第三项等于0；所以只剩下第二项，即
(PQ)(lj)=P(ll)Q(lj)

P(ll)是可逆上三角矩阵P的对角元，所以P(ll)≠0；由l的取法知Q(lj)≠0。所以(PQ)(lj)=P(ll)Q(lj)≠0（l>j）。但由假设，Q是P的逆矩阵，所以PQ为单位矩阵，特别地是对角矩阵，和(PQ)(lj)≠0（l>j）矛盾。所以假设不成立，Q一定是上三角矩阵