Question

如何证明威尔逊定理

Answer 1

若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。

证明如下
p=2，命题显然成立；
p=3，命题显然成立；
对于奇质数p>=5，令a∈A={2,3,4.....p-2},则B={a,2a,3a,.....,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除，而a|α-β|∈B，B中的元素不可能被p除尽。于是烂戚B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.
假设B中被p除余一的数是γa:
一若γ=1，则γa=a，它被p除余a,所以γ=1不成立；
二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余p-a,所以γ=p-1不成立；
三若γ=a，则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p)，故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾，故不成立；
有一二三知γ≠a且a,γ∈A。
a不同时，γ也相异；若a1≠a2, a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p），因，γa1，γa2∈B，而B中的元素关于mod p不橘历伍同余，可见a1≠a2,则γ1≠γ2。
即A中的每一个a均可找到与其配对的y，γ∈A使ay≡1(mod p)，
又，a不同时，γ也相异。
因此，A中的偶数个（p-3个）元素可以分成(p-3)/2个二元组（a,y）,每个二元圆或组都满足ay≡1(mod p)，
∴ 1×2×3×4....(p-2)≡1(mod p)
p-1≡-1(mod p)
∴ (p-1)!≡-1(mod p)
从而p可整除(p-1)!+1