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一、发现式教学法的历史探源
发现式教学法就其思想渊源而言，可以追溯到很久．早在 19世纪中叶，德国著名教育家第斯多惠就曾提出：“科学知识是不应该传授给学生的，而应当引导学生去发现它们，独立地掌握它们”，“一个差的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理”．其后，英国的著名教育家斯宾塞也指出：“在教育中应该尽量鼓励个人发展的过程，应该引导学生进行探讨，自己去推论，给他们讲的应该尽量少些，而引导他们去发现的应该尽量多些”．这些观点，无疑为发现式教学法奠定了思想基础．
作为一种严格意义上的教学方法，发现式教学法是由美国著名心理学家布鲁纳于 20世纪50年代首先倡导的．他认为：“提出一个学科的基本结构时，可以保留一些令人兴奋的部分，引导学生自己去发现它┅┅”；“学生通过发现来掌握学科基本结构，易理解、记忆,便于知识的迁移，能力的发展┅┅”；“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法”．由于他的倡导，使得发现式教学法引起了从事教育工作的人们的高度关注和重视．
二、发现式教学法的理论依据
发现式教学法主要的理论依据是认知建构主义学派的建构原理与顿悟学说．
发现法作为一种教学方式，无论是教学过程，还是教学目标，更多关注的是学生的学，这种意义下的“发现学习”，以学生的自主探索、合作学习为主要特征，学习过程中，学生在原有的认知基础上，其元认知、动机、行为都能得到积极有效的参与．
以弗拉维尔为代表的认知建构主义学派认为，主动建构学习实际上就是元认知监控的学习，是学生根据自己的学习能力、学习任务的要求，积极主动地调整学习策略和努力程度的过程．所以，发现法作为一种学习方式，其本质正是学生在原有认知基础上的主动建构．
认知建构主义学派还认为，学习是一个认知过程，这个过程不是盲目地尝试与试误，而是突然的“顿悟”．人们从实践中认识到：试误与顿悟是学习中互补的两个过程，常常是穿插进行的．一般说来，在数学学习中掌握数学技巧、试解习题等常以试悟的形式出现，而对数学概念的理解及创造性地探索问题则多表现为顿悟．因此，发现式教学法否定通过大量练习与强化形式形成反应习惯，提倡主动地在人脑内部构造认知结构．
三、发现式教学法的现代诠释
步入 21世纪，我们面对的是一个飞速发展的信息化时代，要适应这种急剧发展变化的形势，人们必须具备自我学习的能力,必须终身学习．因此，基础教育的一个重要任务，就是帮助学生学会学习，培养学生的探究发现和开拓创新的能力．
高中《数学课程标准》指出：“教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与．既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流．教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程．”这就要求我们广大数学教师必须转变教学观念，更新教学手段，精心设计好每一节课的教学方案，给学生创造一种能主动探究问题、主动获取知识的宽松、和谐的学习氛围和学习环境．发现式教学法的思想正好体现了这种需求．
在传统的“接受式教学法”的基础上，融入“发现式教学法”，接受的过程中多启发，发现的过程中多参与，两种教学形式互补共存，达到和谐统一，将成为新一轮课程改革中的热门课题．
四、发现式教学法的教学环节
运用发现式教学法实施数学教学，通常可以按照以下几个步骤进行操作：
现以推导等比数列前 n项和公式的教学案例说明如下：
1．创设问题情景
根据教学内容和学生的学习要求 ,通过举出与新知识有关的实际事例、从旧知识中寻找出与新知识相似的数学对象、准备好与新知识相关的教具和材料等方法，精心创设问题情景，将学生的注意力和兴趣引导到数学知识的探究活动中来．
本节课问题情景我是这样设计的： SARS病毒曾给我们带来了无限的恐慌，现假设第一天有一位SARS病人，他在第二天感染两人就不再感染别人了，而另两人又在第三天各感染两人，以后他们也不再感染别人了，如此下去33天共有多少人感染了SARS病毒（不考虑死亡人数）．
（这样引入课题出于以下三点考虑： (1)利用学生求知好奇心理，以一个真实事件为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性．(2)事件内容紧扣本节课教学内容的主题与重点．（3)有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性．）
2．组织学生活动
学生活动包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动，或者是在教师引导下的师生互动，目的是让学生亲身体验数学知识的发生、发展的过程．
求解上述问题时，可引导学生把这个问提跟教材讲等比数列通项时的细胞分裂问题进行比较，找出不同之处：不同在于细胞分裂成两个后本身就消失了，而在这个问题中 SARS病人传染给另两人后本身并没有消失，所以最后算多少人时要把这一部分人加上去，那么第1天是1人，第2天是2人，第3天是 人，第33天是 人，所以33天总共应有（ ）人．
3．引导探究发现
在学生通过独立思考、自主探究的基础上，引导学生发现数学概念、数学定理、数学公式等数学知识，发现论证数学定理、推导数学公式、解决数学问题的思想方法，争取给学生更多的参与机会，使他们象数学家那样经历数学的过程，感受成功的体验．在求 和时，笔者是这样做的：
师：同学们，要知道我们猜测的数据正确与否或者说谁的误差更小些，我们就必须给出这个式子的正确解答过程．我们先来仔细看一下这个式子，很显然 1，2， ，…， 是一个等比数列，共有33项，那么也就是说我们现在要做的就是求一个等比数列前33项的和．一般地，设有等比数列 他的前n项和是 .请同学们自己看课本上的证明，看完请大家思考这样两个问题：1、你认为公式中应该注意哪些问题？2、除了课本上的证明方法你还有其它方法证明吗？
给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决）
生 2：我觉得公式应该对q=1与 分类进行讨论．
生 3：我觉得等比数列的项数还应该值得重视．
师：很好，的确以往同学们容易出错的地方也是这两个方面，所以以后我们在运用公式时要注意对 q的讨论以及数列的项数．课本上的证明方法叫做错位相减法．（教师板演）（这种求和的思路在解决某些求和问题时经常用到，应使学生掌握）那除了课本上的证法还有没其它证法了呢？
生 4：由等比数列通项得：
将上面n个等式的等号两边分别相加，得 ， ， .
当 时， ；当 时， .
生 5：（板演）由等比数列的定义得： ，运用等比定理， ，于是 ，得出 或 ，或 （q=1）．
生 6：（板演） ，则
所以有 ，即 ，或 （q=1）.
4．建构数学理论
数学理论包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序以及解决数学问题过程中的思想方法等．在学生经过探究活动、体验过程、感受意义、形成表象以后，教师要及时地帮助整理、补充和完善，使之规范化，纳入学生的认知系统，形成完整的数学理论体系，为掌握应用奠定基础．
在构建数学理论时课堂实录如下：
师：同学们能够想出三种不同的方法相当不容易，我们再来仔细学习以上三种方法：生 4根据等比数列的定义，用迭加的方法推导出了等比数列{a n }的前n项和公式；生5围绕等比数列的基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．生6当然还有我们课本上的错为相减法也是相当重要的一种方法，这种方法在我们以后的习题中还会大量出现．
由此，我们得出了求等比数列的前 项和的公式 ．
请同学们思考，有了这个公式，要求一个等比数列的前 项之和，我们应该怎样做？
众生：直接用公式．
师：运用公式要注意什么．启发学生得出：需按公比 是否为1分类讨论．
师：这个公式除了可以用来求等比数列的前 项和之外，还有其它用途吗？
（仔细观察公式，引导学生发现知三求二）
5．尝试数学运用
数学运用主要是指运用通过探究发现得来的数学理论实现问题解决 ,包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等．教师要精心组织系列化的问题题组，指导学生尝试数学运用，培养学生的应用意识，检测和反馈学生学习活动的效果．
课堂实录如下：
师：我们已经掌握了等比数列的求和公式，让我们再回到开始的问题上去，请同学们精确计算 33天后的SARS病人．
众生： .
师：计算出最后结果．
众生： 8589934591．
师：也就是将近有 85亿人被感染SARS病毒，而我们知道全世界人口才60几亿．从这个数据也能说明SARS的可怕，值得庆幸的是，在党和政府的领导下我们战胜了SARS，这也说明我党，我们社会主义国家的优越性．
6．总结回顾反思
总结回顾反思可以先由学生叙述 ,教师进行补充和提炼,目的是:一方面让学生再次回顾本节课的活动过程、重点和难点所在以及在学习活动中取得的成绩和存在的问题；另一方面，更是对探索过程的再认识，对研究数学问题的思想方法的升华，对数学思维的反思，为学生以后的进一步学习研究和解决问题提供经验和教训．
笔者让同学们对本节课的教学内容作一个回顾和反思：
(1)等比数列的前n项和公式；
(2)公式的推导方法；
(3)公式的应用．
追问：从这节课的学习中，你有哪些体会和收获？这个问题留给大家课后思考．
通过师生的共同回顾反思，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力，进一步完成认知目标和素质目标．
在实际教学中，上述六个环节不一定要面面俱到，可以根据教学内容和教学环境灵活选择，关键在于关注学生学习方式的转变，将学生的探究发现活动摆在应有的位置上．
总之， 发现式课堂教学是否能取得实效，归根到底是以学生是否参与、怎样参与、参与多少来决定的，同时只有学生主动参与教学，才能改变课堂教学机械、沉闷的现状，让课堂充满生机．所谓学生主动参与就是给学生自主探究的权利，不要教师设框框，先把学生手脚捆绑起来，要求学生按照教师预先设计好的一套去运行．而每步探究先让学生尝试，就是把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，这样，就可以使发现式课堂教学进人理想的境界．
发现式教学法就其思想渊源而言，可以追溯到很久．早在 19世纪中叶，德国著名教育家第斯多惠就曾提出：“科学知识是不应该传授给学生的，而应当引导学生去发现它们，独立地掌握它们”，“一个差的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理”．其后，英国的著名教育家斯宾塞也指出：“在教育中应该尽量鼓励个人发展的过程，应该引导学生进行探讨，自己去推论，给他们讲的应该尽量少些，而引导他们去发现的应该尽量多些”．这些观点，无疑为发现式教学法奠定了思想基础．
作为一种严格意义上的教学方法，发现式教学法是由美国著名心理学家布鲁纳于 20世纪50年代首先倡导的．他认为：“提出一个学科的基本结构时，可以保留一些令人兴奋的部分，引导学生自己去发现它┅┅”；“学生通过发现来掌握学科基本结构，易理解、记忆,便于知识的迁移，能力的发展┅┅”；“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法”．由于他的倡导，使得发现式教学法引起了从事教育工作的人们的高度关注和重视．
二、发现式教学法的理论依据
发现式教学法主要的理论依据是认知建构主义学派的建构原理与顿悟学说．
发现法作为一种教学方式，无论是教学过程，还是教学目标，更多关注的是学生的学，这种意义下的“发现学习”，以学生的自主探索、合作学习为主要特征，学习过程中，学生在原有的认知基础上，其元认知、动机、行为都能得到积极有效的参与．
以弗拉维尔为代表的认知建构主义学派认为，主动建构学习实际上就是元认知监控的学习，是学生根据自己的学习能力、学习任务的要求，积极主动地调整学习策略和努力程度的过程．所以，发现法作为一种学习方式，其本质正是学生在原有认知基础上的主动建构．
认知建构主义学派还认为，学习是一个认知过程，这个过程不是盲目地尝试与试误，而是突然的“顿悟”．人们从实践中认识到：试误与顿悟是学习中互补的两个过程，常常是穿插进行的．一般说来，在数学学习中掌握数学技巧、试解习题等常以试悟的形式出现，而对数学概念的理解及创造性地探索问题则多表现为顿悟．因此，发现式教学法否定通过大量练习与强化形式形成反应习惯，提倡主动地在人脑内部构造认知结构．
三、发现式教学法的现代诠释
步入 21世纪，我们面对的是一个飞速发展的信息化时代，要适应这种急剧发展变化的形势，人们必须具备自我学习的能力,必须终身学习．因此，基础教育的一个重要任务，就是帮助学生学会学习，培养学生的探究发现和开拓创新的能力．
高中《数学课程标准》指出：“教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与．既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流．教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程．”这就要求我们广大数学教师必须转变教学观念，更新教学手段，精心设计好每一节课的教学方案，给学生创造一种能主动探究问题、主动获取知识的宽松、和谐的学习氛围和学习环境．发现式教学法的思想正好体现了这种需求．
在传统的“接受式教学法”的基础上，融入“发现式教学法”，接受的过程中多启发，发现的过程中多参与，两种教学形式互补共存，达到和谐统一，将成为新一轮课程改革中的热门课题．
四、发现式教学法的教学环节
运用发现式教学法实施数学教学，通常可以按照以下几个步骤进行操作：
现以推导等比数列前 n项和公式的教学案例说明如下：
1．创设问题情景
根据教学内容和学生的学习要求 ,通过举出与新知识有关的实际事例、从旧知识中寻找出与新知识相似的数学对象、准备好与新知识相关的教具和材料等方法，精心创设问题情景，将学生的注意力和兴趣引导到数学知识的探究活动中来．
本节课问题情景我是这样设计的： SARS病毒曾给我们带来了无限的恐慌，现假设第一天有一位SARS病人，他在第二天感染两人就不再感染别人了，而另两人又在第三天各感染两人，以后他们也不再感染别人了，如此下去33天共有多少人感染了SARS病毒（不考虑死亡人数）．
（这样引入课题出于以下三点考虑： (1)利用学生求知好奇心理，以一个真实事件为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性．(2)事件内容紧扣本节课教学内容的主题与重点．（3)有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性．）
2．组织学生活动
学生活动包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动，或者是在教师引导下的师生互动，目的是让学生亲身体验数学知识的发生、发展的过程．
求解上述问题时，可引导学生把这个问提跟教材讲等比数列通项时的细胞分裂问题进行比较，找出不同之处：不同在于细胞分裂成两个后本身就消失了，而在这个问题中 SARS病人传染给另两人后本身并没有消失，所以最后算多少人时要把这一部分人加上去，那么第1天是1人，第2天是2人，第3天是 人，第33天是 人，所以33天总共应有（ ）人．
3．引导探究发现
在学生通过独立思考、自主探究的基础上，引导学生发现数学概念、数学定理、数学公式等数学知识，发现论证数学定理、推导数学公式、解决数学问题的思想方法，争取给学生更多的参与机会，使他们象数学家那样经历数学的过程，感受成功的体验．在求 和时，笔者是这样做的：
师：同学们，要知道我们猜测的数据正确与否或者说谁的误差更小些，我们就必须给出这个式子的正确解答过程．我们先来仔细看一下这个式子，很显然 1，2， ，…， 是一个等比数列，共有33项，那么也就是说我们现在要做的就是求一个等比数列前33项的和．一般地，设有等比数列 他的前n项和是 .请同学们自己看课本上的证明，看完请大家思考这样两个问题：1、你认为公式中应该注意哪些问题？2、除了课本上的证明方法你还有其它方法证明吗？
给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决）
生 2：我觉得公式应该对q=1与 分类进行讨论．
生 3：我觉得等比数列的项数还应该值得重视．
师：很好，的确以往同学们容易出错的地方也是这两个方面，所以以后我们在运用公式时要注意对 q的讨论以及数列的项数．课本上的证明方法叫做错位相减法．（教师板演）（这种求和的思路在解决某些求和问题时经常用到，应使学生掌握）那除了课本上的证法还有没其它证法了呢？
生 4：由等比数列通项得：
将上面n个等式的等号两边分别相加，得 ， ， .
当 时， ；当 时， .
生 5：（板演）由等比数列的定义得： ，运用等比定理， ，于是 ，得出 或 ，或 （q=1）．
生 6：（板演） ，则
所以有 ，即 ，或 （q=1）.
4．建构数学理论
数学理论包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序以及解决数学问题过程中的思想方法等．在学生经过探究活动、体验过程、感受意义、形成表象以后，教师要及时地帮助整理、补充和完善，使之规范化，纳入学生的认知系统，形成完整的数学理论体系，为掌握应用奠定基础．
在构建数学理论时课堂实录如下：
师：同学们能够想出三种不同的方法相当不容易，我们再来仔细学习以上三种方法：生 4根据等比数列的定义，用迭加的方法推导出了等比数列{a n }的前n项和公式；生5围绕等比数列的基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．生6当然还有我们课本上的错为相减法也是相当重要的一种方法，这种方法在我们以后的习题中还会大量出现．
由此，我们得出了求等比数列的前 项和的公式 ．
请同学们思考，有了这个公式，要求一个等比数列的前 项之和，我们应该怎样做？
众生：直接用公式．
师：运用公式要注意什么．启发学生得出：需按公比 是否为1分类讨论．
师：这个公式除了可以用来求等比数列的前 项和之外，还有其它用途吗？
（仔细观察公式，引导学生发现知三求二）
5．尝试数学运用
数学运用主要是指运用通过探究发现得来的数学理论实现问题解决 ,包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等．教师要精心组织系列化的问题题组，指导学生尝试数学运用，培养学生的应用意识，检测和反馈学生学习活动的效果．
课堂实录如下：
师：我们已经掌握了等比数列的求和公式，让我们再回到开始的问题上去，请同学们精确计算 33天后的SARS病人．
众生： .
师：计算出最后结果．
众生： 8589934591．
师：也就是将近有 85亿人被感染SARS病毒，而我们知道全世界人口才60几亿．从这个数据也能说明SARS的可怕，值得庆幸的是，在党和政府的领导下我们战胜了SARS，这也说明我党，我们社会主义国家的优越性．
6．总结回顾反思
总结回顾反思可以先由学生叙述 ,教师进行补充和提炼,目的是:一方面让学生再次回顾本节课的活动过程、重点和难点所在以及在学习活动中取得的成绩和存在的问题；另一方面，更是对探索过程的再认识，对研究数学问题的思想方法的升华，对数学思维的反思，为学生以后的进一步学习研究和解决问题提供经验和教训．
笔者让同学们对本节课的教学内容作一个回顾和反思：
(1)等比数列的前n项和公式；
(2)公式的推导方法；
(3)公式的应用．
追问：从这节课的学习中，你有哪些体会和收获？这个问题留给大家课后思考．
通过师生的共同回顾反思，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力，进一步完成认知目标和素质目标．
在实际教学中，上述六个环节不一定要面面俱到，可以根据教学内容和教学环境灵活选择，关键在于关注学生学习方式的转变，将学生的探究发现活动摆在应有的位置上．
总之， 发现式课堂教学是否能取得实效，归根到底是以学生是否参与、怎样参与、参与多少来决定的，同时只有学生主动参与教学，才能改变课堂教学机械、沉闷的现状，让课堂充满生机．所谓学生主动参与就是给学生自主探究的权利，不要教师设框框，先把学生手脚捆绑起来，要求学生按照教师预先设计好的一套去运行．而每步探究先让学生尝试，就是把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，这样，就可以使发现式课堂教学进人理想的境界．
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