Question

向量空间中每个向量分量的个数，该向量空间的维数

极大无关组包含的向量个数叫做向量空间的维数，可是标准正交基中ATA=E(T是转置符号，A是正交矩阵）这个正交矩阵的维数跟里面每个向量的分量个数是默认相等的吗？书中没提这个概念。还有分量个数跟维数到底有什么联系呢？
请高手指点分量个数跟维数到底有什么联系呢？

Answer 1

一般是默认向量的分量个数就是它所在空间的维数。但是这不是绝对的，确切一

点，（a,……，b）只是一个向量的一个表示形式，是对于一组“约定生成

组”（当然是线性无关的）而言的，例如:V是R上三维向量空间，“约定生成

组”是｛i,j,k｝,则α∈V.就有：α＝xi+yj+zk.写成α＝（x,y,z）,向量的分量

个数＝它所在空间的维数。但是，如果我们考虑的是一个三元齐次线性方程组的

解α. 对于基础解系｛β，γ｝而言。可能是α＝3β-4γ，也可以写成α＝（3,-4）.

也就是说，同一个α，对不同的“约定生成组”，表示它的“向量形式”甚至

连分量个数都是可以不一样的，当然有一点是确定的，分量个数一定等于

“约定生成组”所含向量的个数。