Question

一道数学高考题，希望高手帮忙解解~~~~~

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a＞3），a(n+1)=Sn+3^n，n∈N+
（1）设bn=Sn-3^n，求数列{bn}的通项公式
（2）若Cn=（3log2 [bn/（a-3)]）+1（n∈N+）证明对任意n∈N+，不等式（1+1/C1)(1+1/C2)……(1+1/Cn）>(3n+1）^(1/3)恒成立。

麻烦写详细的解题过程，主要是第二问。

Answer 1

(1)
a(n+1)=Sn+3^n
a(n+1)=S(n+1)-Sn
S(n+1)=2Sn+3^n
S(n+1)-3^(n+1)=2(Sn-3^n)
即b(n+1)=2bn
bn为公比为2的等比数列
b1=S1-3^1=a1-3=a-3
bn=（a-3)*2^(n-1)

(2)
Cn=（3log2 [bn/（a-3)]）+1
=(3log2[2^(n-1)])+1
=3(n-1)+1
=3n-2
(i) 数学归纳法
当n=1时
1+1/C1=2>4^(1/3)
成立
(ii) 假设n=k时不等式成立
n=k+1时
（1+1/C1)(1+1/C2)……(1+1/C(k+1)）
>(3k+1)^(1/3)*[1+1/C(k+1)]
=(3k+1)^(1/3)*[(3k+2)/(3k+1)]
因为
(3k+4)(3k+1)(3k+1)<[(3k+4+3k+1+3k+1)/3]^3
=(3k+2)^3
同除于（3k+1)^3
[(3k+2)/(3k+1)]^3>(3k+4)/(3k+1）
(3k+2)/(3k+1)>[(3k+4)/(3k+1)]^(1/3)
所以
（1+1/C1)(1+1/C2)……(1+1/C(k+1)）
>(3k+1)^(1/3)*[(3k+2)/(3k+1)]
>(3k+1)^(1/3)*[(3k+4)/(3k+1)]^(1/3)
=(3k+4)^(1/3)
=[3(k+1)+1]^(1/3)
也成立
由(i)(ii)可得
1+1/C1)(1+1/C2)……(1+1/Cn）>(3n+1）^(1/3)对任意整数n恒成立。