Question

证明：1/(n+1)<ln(n+1)-lnn<1/n

Answer 1

证明过程如下：

证明：

对n<x<n+1，有1/(n+1)<1/x<1/n

所以∫[n,n+1] 1/(n+1) dx<∫[n,n+1] 1/x dx<∫[n,n+1] 1/n dx

其中第一项和第三项都是常数的积分

所以第一项=[(n+1)-n]*1/(n+1)=1/(n+1)，第三项=[(n+1)-n]*1/n=1/n

对第二项用Newton-Leibniz公式得ln(x)|{x=n+1}-ln(x)|{x=n}=ln(n+1)-ln(n)

即得1/(n+1)<ln(n+1)-ln(n)<1/n

扩展资料

证明数列极限的方法：

在空间坐标系内，平面的方程均可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。

由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y)+C(x-x)=0是x,y,x的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1 。它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

三点求平面可以取向量积为法线，任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0，两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2。

点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2) 求解过程:面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积。

Answer 2

方法一（微分）：

定义f(x)=ln(1+x)-x，则f(x)在x>-1时连续，且
f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)，
所以当x>0时f'(x)<0，f(x)严格单调递减；
所以当x>0时f(x)<f(0)=ln1-0=0。
特别地1/n>0，所以
0>f(1/n)=ln(1+1/n)-1/n=ln[(n+1)/n]-1/n=ln(n+1)-ln(n)-1/n，
所以ln(n+1)-ln(n)<1/n

定义g(x)=ln(1+x)+1/(1+x)-1，则g(x)在x>-1时连续，且
g'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2，
所以当x>0时g'(x)>0，g(x)严格单调递增；
所以当x>0时g(x)>g(0)=ln1+1-1=0。
特别地1/n>0，所以
0<g(1/n)=ln(1+1/n)+1/(1+1/n)-1=ln[(n+1)/n]+n/(n+1)-1=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)，
所以ln(n+1)-ln(n)>1/(n+1)

方法二（积分）：
对n<x<n+1，有1/(n+1)<1/x<1/n，所以
∫[n,n+1] 1/(n+1) dx<∫[n,n+1] 1/x dx<∫[n,n+1] 1/n dx，
其中第一项和第三项都是常数的积分，所以第一项=[(n+1)-n]*1/(n+1)=1/(n+1)，第三项=[(n+1)-n]*1/n=1/n；
对第二项用Newton-Leibniz公式得ln(x)|{x=n+1}-ln(x)|{x=n}=ln(n+1)-ln(n)，
即得1/(n+1)<ln(n+1)-ln(n)<1/n