Question

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=（负4分之根号3）x^2+（2分之根号3）x+2倍根号3与y轴于A点，与x轴交于B

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=（负4分之根号3）x^2+（2分之根号3）x+2倍根号3与y轴于A点，与x轴交于B、C两点（点B在点C左侧），AD‖x轴与抛物线交于点D，连接AB、CD，E是AB的中点，过点E作EF‖BC交CD于点F。若点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于点M，过MN‖AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x。
（1）求A、B、C、D四点的坐标
（2）当点N在线段AD上时，△PMN的周长是否总为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由。
（3）当点N在线段DC上时，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，求出所满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）A（0,2√3）B(-2,0)C(4,0)D(2，2√3)
（2）X、Y轴交于O，过E做EQ⊥BC于Q，延长MP交AD于G
由题目可知EQ为△AOB的中位线，可得EQ=OA的一半=PM=√3；∵MN‖AB∴MN=AB=4
∵OA=2√3,OB=2,∴TAN60°=TAN∠ABO=√3∴∠GMN=30°∴PN=MN的一半=2
∴当点N在线段AD上时，△PMN的周长为6+√3
（3）假设存在一点P满足条件，MN交EF于点G；EF=4,AB=6；
∵MN‖AB∴等腰三角形的条腰为PM、PN=√3。
又∵EF‖BC，∠ABO=60°∴∠PMN=30°
过P作△PMN的中垂线，垂足为L，则PL=COS30°*PM=3/2∴MN=3
在△PMG中可得MG=2，PG=1
∵在△NMC中GF‖MC，NG/MG=1/2∴GF/MC=1/2∴GF=1/2MC=BC-BQ-x=1/2(5-x)
又∵x+PG+GF=4即x+1+1/2(5-x)=4
∴满足要求的x=1