Question

已知二次函数的图像过点A(2,1)和B(-1,-8),且与x轴相交两点的距离为2

如题，求该函数解析式

Answer 1

f(x)=ax²+bx+c
过A和B
1=4a+2b+c
-8=a-b+c
相减
3a+3b=9
b=3-a
代入1=4a+2b+c
1=4a+6-2a+c
c=-5-2a

f(x)=ax²+(3-a)x-5-2a
由韦达定理
x1+x2=-(3-a)/a
x1x2=(-5-2a)/a
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(3-a)²/a²+4(5+2a)/a
与x轴相交两点的距离=|x1-x2|=2
(x1-x2)²=4
所以(3-a)²/a²+4(5+2a)/a=4
两边乘a²
9-6a+a²+20a+8a²=4a²
5a²+14a+9=0
(5a+9)(a+1)=0
a=-9/5,a=-1

所以f(x)=-9x²/5+24x/5-7/5
或f(x)=-x²+4x-3