Question

△ABC中，内角A.B.C成等差数列。其对边a,b,c满足2b²=3ac。求角A

Answer 1

解：内角A.B.C成等差数列
所以2B=A+C
又A+B+C=180°
所以B=60°
A+C=120°
由正弦定理得
a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC
代入2b²=3ac得
2SIn²B=3sinAsinC
即sinAsinC=1/2
(1/2)[cos(A-C)-Cos(A+C)]=1/2
Cos(A-C)+cosB=1
cos(A-C)=1/2
A-C=60°或C-A=60°
又A+C=120°
所以A=90° C=30°或A=30° C=90°

Answer 2

因为A.B.C成等差数列，
所以 2B=A+C，
又A+B+C=180°,从而 B=60°
由余弦定理，得
b²=a²+c²-2accos60°，
即b²=a²+c²-ac
2b²=2a²+2c²-2ac
将2b²=3ac代入，得
2a²-5ac+2c²=0
(2a-c)(a-2c)=0
所以 c=2a或a=2c
当c=2a时，2b²=3ac=6a²，
a/b=1/√3，
由正弦定理，得
sinA=(a/b)sinB=(1/√3)(√3/2)=1/2，
又A<120°，从而A=30°
同理，当a=2c时，可解得 A=90°。
于是 A=30°或A=90°