Question

高二数学 已知AB是椭圆x²／a²＋y²／b²＝1 ﹙a＞b＞0﹚长轴的两个端点，

请详细解释：
已知AB是椭圆x²／a²＋y²／b²＝1 ﹙a＞b＞0﹚长轴的两个端点，如果椭圆上存在一点Q，使∠AQB＝120°求椭圆离心率的取值范围？

Answer 1

∵当Q在Y轴上时∠AQB最大
∴Q在Y轴上时∠AQB≥120°，则∠OQA≥60°
∠OQA=60°时，b/a=1/√3，
c²=a²-b²=a²-a²/3=a²(2/3)
∴e²=2／3，e=√6/3
要使∠OQA＞60°，a不变，b要变小，c就增大
∴√6/3≤e＜1

貌似得证明Q在Y轴上时∠AQB最大
设：QA=a，QB=b，AB=c(c为常数），∠AQB=θ
由余弦定理得
cosθ=(a^2+b^2-c^2)/2ab
当a=b时，分母取得最大值（2ab≤a^2+b^2)，分子取得最小值（a^2+b^2-c^2≥2ab-c^2)
即a=b时，cosθ最小，cosθ在（0＜θ＜π）是减函数，所以cosθ最小时，θ最大

追问

怎样证明在y轴上时角度最大呢?

追答

已经回答了，余弦定理
a=b就是在y轴的时候

追问

但是我用余弦定理没证出来，我提问主要是想看一下用余弦定理的证明过程，麻烦证一下吧。

追答

当a=b时，分母取得最大值a^2+b^2（2ab≤a^2+b^2)，
分子取得最小值2ab-c^2（a^2+b^2-c^2≥2ab-c^2)此时c^2是常数
a=b时cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=2ab-c^2/a^2+b^2
分子最小，分母最大，cosC的值就是最小呀