Question

1+2²+3²+4²+…+2013²+2014²=?

Answer 1

有个固定公式：1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
1+2²+3²+4²+…+2013²+2014²=2014×(2014+1)×(2×2014+1)÷6=2725088015
公式推导方法：
(n+1)³-n³=n³+3n²+3n+1-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
……
2³-1³=3×(2-1)²+3×(2-1)+1
上述等式相加
左边=(n+1)³-n³+n³-(n-1)³+……+2³-1³=(n+1)³-1
右边=3n²+3n+1+[3(n-1)²+3(n-1)+1]+……+3×(2-1)²+3×(2-1)+1=3(1²+2²+……+n²)+3(1+2+……+n)+n=3(1²+2²+……+n²)+3[n(n+1)/2]+n
3(1²+2²+……+n²)+3[n(n+1)/2]+n=(n+1)³-1
3(1²+2²+……+n²)=(n+1)³-1-3[n(n+1)/2]-n
6(1²+2²+……+n²)=2(n+1)³-3n(n+1)-2(n+1)
6(1²+2²+……+n²)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
6(1²+2²+……+n²)=(n+1)(2n²+n)
1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

记：S(n)=1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2
先推导公式：S(n)=n(n+1)(2n+1)/6
这要从2阶等差数列开始
2阶等差数列就是由（1阶）等差数列的前n项和组成的数列
即：1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,...
我们熟知，通项就是：a(n)=n(n+1)/2
即：1,3,6,10,15,...,n(n+1)/2
其实这就是组合数C(2,n+1)=a(n)
根据组合数著名的关系式：C(r,n-1)+C(r-1,n-1)=C(r,n)
（C(r,n)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)/r! 这个公式很容易计算验证的）
我们有：C(3,i-1)+C(2,i-1)=C(3,i)
两边从i=4到n+2求和得：
C(3,3)+C(2,3)+C(2,4)+C(2,5)+C(2,6)+...+C(2,n+1)=C(3,n+2)
即：1+3+6+10+15+21+...+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6
现在两边乘以2得
2+6+12+20+30+42+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
把左边的每一项拆成两项：n^2+n
(1+1)+(4+2)+(9+3)+(16+4)+(25+5)+(36+6)+...+(n^2+n)=n(n+1)(n+2)/3
这样左边就是两个数列之和了
(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2)+(1+2+3+4+...+n)=n(n+1)(n+2)/3
第1个数列就是我们要求的S(n)，第2个是熟知的等差数列前n项和：n(n+1)/2
所以有：S(n)=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/6
套公式就得到本题答案了：
1+2^2+3^2+4^2+…+2013^2+2014^2=2014*2015)*4029/6=16358646525

附带提示：由2阶等差数列前n项和S(n)组成的3阶等差数列
S(1),S(2),S(3),S(4),...,S(n)
他们的和就是C(4,n+3)，……
一般结果是：r阶等差数列{C(r,n)}的前n项和就是C(r+1,n+r)
利用r阶等差数列就可以推导∑n^r的公式了
我推导过的，结果发现一类三角矩阵，很有趣