Question

在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,减去如图阴影部分的四个全等的等如图，在边长为24cm的正方

形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，

沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

Answer 1

注：我标记了G,H两点，以便说明；x^n(n=2,3...)表示x的n次方。

解：1）根据题意有：

   BG=BF=x,则

 

HF=FG= √2BF = √2 x

由题意有：EF=AB-AE-BF=(HF^2+EH^2)^0.5

计算可得：x=6

则正方体的体积 V=GF^3=(√2 x)^3 =2√2 x^3=432√2；

2）设AB=BC=CD=DA=d=24根据题意则有

S= 4*HF*FG + FG*FG

HF=(1/2)*√2*EF

EF=d-2*x

FG=√2  x

由此可得：S=4*(1/2)*√2*(d-2*x)*√2x+2x^2

           = -6x^2+ 4dx

           =-6[(x-d/3)^2-d^2/9]

           =-6(x-d/3)^2+2*d^2/3

即当x=d/3=8时，S最大且等于384.