Question

求助高数题 f(x)>=x,f(x)>=(1-x),证明f(1/2)>1/2。。。。

Answer 1

不知道你写错了没有，应该是证明f(x)>=1/2吧

因为
f(x)>=x,f(x)>=(1-x)
可知，f(x)>=max{x,1-x}
max{x,1-x}是y=x和y=1-x中较大的函数
很容易知道max{x,1-x}=1-x, x<=1/2
x, x>=1/2
令g(x)=max{x,1-x}
g'(x)= -1 , x<=1/2
1 , x>=1/2
所以g(x)=max{x,1-x}在x=1/2时候取到最小值g(x)>=g(1/2)=1/2
所以f(x)>=g(x)>=1/2

追问

没错，不过还有个条件是：f(x)可导。
是证明f(1/2)>1/2

追答

f(x)>=x,这一步不就说明了f(1/2)>1/2，还用得着证明么

追问

应该是证明当f(1/2)=1/2时，左右两侧导数不等，与题设f(x)可导矛盾，所以f(1/2)>1/2
(答案的提示是这样的，反证法）

追答

那就很好证明了
下面用反证法证明f(1/2)不等于1/2

假设f(1/2)=1/2,

设g(x)=f(x)-(1-x)，可知，g(1/2)=0
假设(-无穷，1/2)，f'(x)>=0,
那么g'=f'+1>0
所以g(x)在(-无穷，1/2）是个增函数，
所以(-无穷，1/2）上，g(x)=1-x矛盾，
得出 在(-无穷，1/2)上，f'(x)=x矛盾，
得出 在(-无穷，1/2)上，f'(x)>0,

得到在x=1/2两侧的导数不相同，所以f在x=1/2处不可导
这与f(x)在R上可导矛盾

所以f(1/2)不等于1/2
由于f(x)>=x,,
所以f(1/2)>1/2