Question

已知抛物线的方程y²=4x,它的焦点F是椭圆的一个焦点，它的顶点是椭圆的中心……。

已知抛物线的方程y²=4x,它的焦点F是椭圆的一个焦点，它的顶点是椭圆的中心,且椭圆的离心率e=√5/5，点A（0,3）是椭圆外的一点。
（1）求椭圆的标准方程
（2）若点B是椭圆的一点，求线段AB中点P的轨迹方程
（3）当直线AF与椭圆交于M、N两点，O为坐标原点，求OMN的面积？

Answer 1

（1）抛物线焦点为F(1,0)
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1 ,则c=1 ,c/a=e=1/√5 ,∴a=√5 ,b²=a²－c²=4
∴椭圆方程是 x²/5+y²/4=1……①
（2）设AB中点P（x,y），点B(m,n) ,则m+0=2x且n+3=2y ，即m=2x且n=2y－3 ,
代入椭圆方程得（2x)²/5+(2y－3)²/4=1
即x²/(5/4)²+(y－3/2)²=1
（3）直线AF的斜率k=（3-0）/（0-1）=-3 ∴直线方程为 y=-3(x-1),即x=(3-y)/3 ,
代入①得4【(3-y)/3】²+5y²=20
即 49y²－24y－144=0 ,|y1－y2|=(√24²+4·49·144)/49=(120√2)/49
∴⊿OMN的面积为：S=½·1·(120√2)/49=（60√2）/49