Question

若曲线的切线在X轴和Y轴上的截距之和为二，求曲线所满足的一阶微分方程

Answer 1

设该曲线为y=f（x），曲线的切线方程是y-f(x。)=f'(x。)(x-x。) ，问题转化为求微分方程的解，为了方便我把该微分方程写成x=-xdy/dx+y的。

曲线的切线方程为：若点在曲线上，公式为y-f(a)=f'(a)(x-a)；若点不在曲线上，公式为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。

曲线的切线方程

1、如果某点在曲线上：

设曲线方程为y=f(x)，曲线上某点为(a，f(a))

求曲线方程求导，得到f'(x)，将某点代入，得到f'(a)，此即为过点(a，f(a))的切线斜率，由直线的点斜式方程，得到切线的方程。y-f(a)=f'(a)(x-a)

2、如果某点不在曲线上：

设曲线方程为y=f(x)，曲线外某点为(a，b)

求对曲线方程求导，得到f'(x)

设：切点为(x0，f(x0))，将x0代入f'(x)，得到切线斜率f'(x0)，由直线的点斜式方程，得到切线的方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，因为(a，b)在切线上，代入求得的切线方程，有：b-f(x0)=f'(x0)(a-x0)，得到x0，代回求得的切线方程，即求得所求切线方程。

Answer 2

设曲线方程是y=f(x),它在点(x,f(x))的切线是：y-f(x)=f'(x)(x-x),
在两轴的截距和=x-f(x)/f'(x)+f(x)-xf'(x)=2,
即x(y')^2+(2-x-y)y'+y=0,为所求.

Answer 3

设曲线上的任一点(a,f(a))
切线斜率为f'(a)
切线为：y=f'(a)(x-a)+f(a)
当x=0时，y=-af'(a)+f(a)
当y=0时，x=-f(a)/f'(a)+a
由题意，有-af'(a)+f(a)-f(a)/f'(a)+a=2
改为通常的x,y,
即以x取代a,y取代f(a), y'取代f'(a),则微分方程为：
-xy'+y-y/y'+x=2

Answer 4

设该曲线为y=f（x） 曲线的切线方程是y-f(x。)=f'(x。)(x-x。) 问题转化为求微分方程的解，为了方便我把该微分方程写成 x=-xdy/dx+y的