Question

数学归纳法证明数列

我只想知道如果a1=3a2=7a3=15推测其通项公式证明！我用的是初中的方法，带入2次函数，解出一个2次函数来，可是高中使用了一种方法，把它化成了指数的形式！这样有利于数学归纳法。怎么化成指数的函数？？？？

Answer 1

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。)
数学归纳法有两个关键点需要牢记
1。证明当n为某一个值时，结论是成立的。
2。假定n=k时成立，证明n=k+1时，结论也是成立的。

举例：
求证:5个连续自然数的积能被120整除
答案：
1、当n=1时1*2*3*4*5=120，能被120整除，原命题成立
2、假设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）
=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数
四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4*2*3=24整除 。
即当n=k+1时原命题成立
所以，综合1、2、，原命题对任何自然数成立

Answer 2

如下：
a1 = 3 =4-1 =2^2-1
a2 = 7 =8-1 = 2^3 -1
a3 = 15 = 16-1 = 2^4 -1
……
简单推测
an = 2^(n+1) -1
//Sn = 2^(n+2) - 4- n
下面予以证明
1、n = 1 时，an = 2^(n+1)-1 =2^2 -1 =3，成立
2、假设 存在整数 i，当 n =i 时，a(i) = 2^(i+1)-1 成立
那么 n = i+1 时，
a(i+1) = S(i+1)-Si
= 2^((i+1)+2) - 4- (i+1) - (2^(i+2) - 4- i)
= 2^((i+1)+2) - 2^(i+2) -1
= 2^(i+2)*(2-1) -1
= 2^(i+2) -1
=2^((i+1)+1) -1
即 n = i+1 时 a(i+1) = 2^(i+1+1) -1 成立
所以 原式得证