Question

圆o1与圆o2都过点A,AO1是圆O2切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于C,连

圆o1与圆o2都过点A,AO1是圆O2切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于C,连结O2C...
圆O1半径大于圆O2,两圆相交...求：ABxBC=2O2BxBO1,,,如果ABXBC=12,O2C=4,求AO1

Answer 1

（1）∵AO1是⊙O2的切线，
∴O1A⊥AO2，
∴∠O2AB+∠BAO1=90°，
又O2A=O2C，O1A=O1B，
∴∠O2CB=∠O2AB，∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1，
∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°，
∴O2C⊥O2B，
即O2C⊥O1O2；
（2）延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD，
∵BD是⊙O1直径，
∴∠BAD=90°，
又由（1）可知∠BO2C=90°，
∴∠BAD=∠BO2C，
又∠ABD=∠O2BC，
∴△O2BC∽△ABD，
∴，
∴AB·BC=O2B·BD，
又BD=2BO1，
∴AB·BC=2O2B·BO1。
（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，
即∠D=∠O2AB，
又∠AO2B=∠DO2A，
∴△AO2B∽△DO2A，
∴，
∴AO22=O2B·O2D，
∵O2C=O2A，
∴O2C2=O2B·O2D，
①又由（2）AB·BC=O2B·BD
②由①-②得，O2C2-AB·BC= O2B2，即
42-12=O2B2，
∴O2B=2，
又O2B·BD=AB·BC=12，
∴BD=6，
∴2AO1=BD=6，
∴AO1=3。

追答

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