Question

如图，在三角形ABC中，角C=90度，角A=30度，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D,E,求证AE=2CE

图为2013版北师大数学八年级下册第34页第11题

Answer 1

楼上证法都不错，但是都不是最好的！证明：连接BE因为DE是AB的垂直平分线所以AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）所以角A=角ABE=30度（等边对等角）又因为角C=90度，角A=30度所以角ABC=90-30=60度（直角三角形两锐角互余）所以角EBC=60-30=30度所以CE=1/2BE（在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）因为AE=BE（已证）所以AE=2CE

Answer 2

证明：连接BE
∵ED是AB的垂直平分线
∴∠ADE=∠BDE=90° ， AD=DB
又∵ED=ED
∴△ADE≌△BDE(SAS)
∴∠EAD=∠EBD
∴AE=EB
∵∠EAD=∠A=30°
∴∠EBD=30°
∵△ABC中，∠C=90° ，∠A=30°
∴∠B=60°
∴∠EBC=∠B－∠EBD=60°－30°=30°
∵在Rt△ECB中，∠C=90°且∠EBC=30°
∴EB=2CE
∴AE=2CE