Question

已知函数f(x)=ax-ln(xεR)(1)若f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程是y=x+1，求实数a的值

(2)是否存在实数a，当xε(0，e](e为自然常数)时，函数f(x)的最小值是3?若存在，求出a值；若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)由题意可知; f(X)在x=1处的切线斜率为1，所以f'(1)=1 所以f'(x)=a-1/x f'(1)=a-1=1 所以a=2 (2)令f'(x)=a-1/x=0 若a=0时，无解 f(x)=-lnx,在（0，e]上单调递减 f(x)min=f(e)=1≠3，不符题意；若a≠0时，f'(x)=0为x=1/a 若0＜1/a≤e时， （0,1/a) f(x)单调递减，（1/a, e]单调递增，所以f(x)min=f(1/a)=1-ln(1/a)=1+lna=3,所以a=e^2 此时满足0＜1/a≤e符合题意， 若1/a<0 即a<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减 f(x)min=f(e)=ae-1=3 a=4/e>0 不符合假设条件；当1/a>e 即0<a<1/e时，f'(x)<0，f(x)单调递减 f(x)min=f(e)=ae-1=3 a=4/e也不符合假设条件。 综上可得a=e^2时，函数f(x) 在(0,e]的最小值为3

Answer 2

首先给f(x)求导，得f'(x)=x-1/x。又因为极值点处的导数为零，所以将x=1代到f'(x)=x-1/x中，得a=1.