Question

如图,在△ABC中,AB=AC,在BA的延长线上取AE=AF,求证:EF⊥BC

Answer 1

延长EF与BC相交于D

因为：AB=AC

所以：∠B=∠C，∠EAF=∠B+∠C=2×∠C

因为：AE=AF

所以：∠E=∠AFE

在△AEF中

∠EAF+∠E+∠AFE=180°

2∠C+2∠AFE=180°，2（∠C+∠AFE）=180°

∠C+∠AFE=90°

因为：∠AFE=∠DFC

所以：∠C+∠DFC=90°

∠FDC+（∠C+∠DFC）=180°，

∠FDC=180°-（∠C+∠DFC）=180°-90°=90°则ED垂直于BC

所以：EF垂直BC

追问

为什么 2∠C+2∠AFE=180° ？

追答

∠EAF=2∠C 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∠BAC=2∠E 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∠EAF+∠BAC=180°
所以2∠C+2∠AFE=180°

追问

上面我看懂了但是为什么 2∠C+2∠AFE=180° ？

追答

∠B=∠C，∠EAF=∠B+∠C=2×∠C
∠E=∠AFE，∠BAC=∠E+∠AFE=2×∠AFE
∠EAF+∠BAC=180°
所以2∠C+2∠AFE=180°

Answer 2

延长ef交bc于g
ae=af，得∠aef=
∠afe
等边三角形性质
∠afe=(180°-∠eaf)/2
三角形内角和为180°
=(180°-2∠C)/2
三角形外角定理
=90°-∠C
∠fgc=180°-∠c-∠gfc
=180°-∠c-∠afe
=180°-∠c-(90°-∠C)
=90°
∴ef⊥bc