Question

已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0,求x2＋y2的最大值和最小值.

Answer 1

x^2+y^2-4x+1=0

配方得(x-2)^2+y^2=3

表示以C(2,0)为圆心，半径r=√3的圆。

那么以(x,y)为坐标的点M在圆C上。

而x^2+y^2=|OM|^2

|OM|max=|OC|+r=2+√3

|OM|min=|OC|-r=2-√3

∴x^2+y^2的最大值为(2+√3)^2=7+4√3

   最小值为(2-√3)^2=7-4√3

Answer 2

x²+y²-4x+1＝0→(x-2)²+y²＝(√3)².
故可设x-2＝√3cosθ,y＝√3sinθ.
∴x²+y²＝(2+√3cosθ)²+(√3sinθ)²
＝7+4√3cosθ.
而cosθ∈[-1，1].
∴cosθ＝-1时，(x²+y²)|min＝7-4√3;
cosθ＝1时，(x²+y²)|max＝7+4√3。

Answer 3

设y/x=t,代入原方程得x^2+(tx)^2-4x+1=0
==>
(1+t^2)x^2-4x+1=0,其判别式不小于0,故(-4)^2-4(1+t^2)>=0
==>
3-t^2>=0
==>
-根号3
=<t=<
根号3。因此,y/x极大值为"根号3",极小值为"-根号3"。