Question

已知:a,b,c为三角形的三条边,且a^2+4ac+3c^2-3ab-7bc+2b^2=0

Answer 1

a^2+4ac+3c^2-3ab-7bc+2b^2=0
(a+c)(a+3c)-3ab-7bc+2b²=0
(a+c)(a+3c)-b(a+c)-2b(a+3c-b)
(a+c)(a+3c-b)-2b(a+3c-b)
(a+c-2b)(a+3c-b)=0
∵a,b,c为三角形的三条边
∴a+c＞b
∴a+3c＞b
∴a+c=2b

追问

为什么a+c>b,a+3c>b,所以a+c=2b

追答

三角形两边之和大于第三边
而a,b,c都是正数
所以a+3c＞b
而(a+c-2b)(a+3c-b)=0

所以a+c-2b=0或a+3c-b=0
所以a+c=2b

Answer 2

求证2b=a+c？
a^2+4ac+3c^2-3ab-7bc+2b^2=0可以看做未知数为b的一个方程，即：
2b^2-(3a+7c)b+a^2+4ac+3c^2=0
所以△=(3a+7c)^2-4×2×(a^2+4ac+3c^2)=(a+5c)^2
再利用求根公式，b=[(3a+7c)+(a+5c)]/(2×2)=a+3c或者b=[(3a+7c)-(a+5c)]/(2×2)=(a+c)/2
又因为三角形的限制，b=a+3c是不可能的，所以b=(a+c)/2，即2b=a+c