Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0）．将矩形OABC

绕点O按顺时针方向旋转135°，得到矩形EFGH（点E与O重合）．
（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM= °，OM= ；
（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位．
①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0＜t≤4 2
-2时，S与t之间的函数关系式．

Answer 1

由旋转可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM为等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
则根据勾股定理得：OM=2解：（1）如图所示：

由旋转可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM为等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
则根据勾股定理得：OM=2根号2；

2（2）①如图所示：

∵AD∥BO，AB∥OD，
∴四边形ADOB为平行四边形，
∴DO=AB=2，
由平移可知：∠HEM=45°，
∴∠OMD=∠ODM=45°，
∴OM=OD=2，
由平移可知：EM=2根号2，
∴矩形EFGH平移的路程t=2根号2-2=2（根号2-1）；
②分三种情况考虑：
（i）如图1所示，当0＜t＜2时，重叠部分为等腰直角三角形，
此时S=1/2乘 t的平方；

（ii）如图2所示，当2≤t＜22时，重叠部分为直角梯形，
此时S=1、2[（t-2）+t]×2=2t-2；

（iii）如图3所示，当22≤t≤42-2时，重叠部分为五边形，
此时S=（2t-2）-12（t-22）2=-12t2+2（2+1）t-6．