Question

三角形ABC中.角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量m=(2cosA/2,sinA/2),n=(cosA/2,_2sinA/2),m·n=-1

《1》求cosA的值;《2》若a=2根3，求△ABC周长的范围

Answer 1

m·n
=2cos²A/2-2sin²A/2=-1
∴cos²A/2-sin²A/2=-1/2
余弦二倍角公式得
cosA=-1/2
(2)
a=2√3
余弦定理
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=-1/2
-bc=b²+c²-12
12-bc=b²+c²≥2bc
∴12≥3bc
bc≤4
∵12-bc=b²+c²
12=(b+c)²-bc
bc=(b+c)²-12≤4
∴(b+c)²≤16
b+c≤4
∵b+c>a
∴2√3<b+c≤4
∴4√3<a+b+c≤4+2√3
所以周长取值范围是(4√3,4+2√3]
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