Question

将函数f（x）=1/（x+2）展开成x-2的幂函数，并确定其收敛域

Answer 1

函数 f(x) = 1/(x+2) 改写成f(x) = 1/[4+(x-2)]= (1/4)/[1+(x-2)/4],利用已知级数1/(1-x) = ∑(n≥0)(x^n),|x|。

幂函数是基本初等函数之一。

一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；

负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

Answer 2

　　函数 f(x) = 1/(x+2) 改写成
　　 f(x) = 1/[4+(x-2)]
　　　　= (1/4)/[1+(x-2)/4]，
利用已知级数
　 　1/(1-x) = ∑(n≥0)(x^n)，|x|<1，
则 f(x) 展开成 x-2 的幂函数为
　 　f(x) = (1/4)*∑(n≥0)[-(x-2)/4]^n， |(x-2)/4|<1
　　　　= ……。