Question

什么是整数裂项

Answer 1

整数裂项法就是满足式子中的数字成等差数列，然后将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字的公差来确定的。
先看一道整数裂项的经典例题：
【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100
分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？
1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;
2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;
3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;
……
99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;
规律是不是找着了？
原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3
=99x100x101÷3
=333300
在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：
式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99
分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
思考：1x3能不能采用整数裂项法呢？
原式=1x3+(3x5x7-1x3x5+5x7x9-3x5x7+……+97x99x101-95x97x99)÷6
=1x3+(97x99x101-1x3x5)÷6
=161651
G老师为什么把1x3单独列出来呢？
一般的，整数裂项向前伸展时，取的伸展数小于0，就需要取负数，这时候把该项摘出来单列会更加简便，而且避免将正负号混淆弄错。