Question

四棱锥中P—ABCD，底面ABCD是正方形，PA垂直底面ABCD，且PA=PB求证BD垂直平面PAC

1、求证:BD垂直平面PAC2、求异面直线BC与PD所成的角

Answer 1

1)连AC,BD ∵ABCD是正方形 ∴AC⊥BD ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD ∴BD⊥平面PAC ∴平面PBD⊥平面PAC 2)过B作BM⊥PC于M,连DM 设AB=BC=CD=DA=1,PA=2 ∴PB=PC=PD=√5,BD=√2 易知△PBC≌△PDC, 则DM⊥PC,且BM=DM ∴∠BMD是二面角P-PC-D的平面角 ∵cos∠BPC=(PB PC-BC)/2PB×PC=9/10 ∴sin∠BPC=√(1-cos∠BPC)=√19/10 ∴DM=BM=BP×sin∠BPC=√5×√19/10=√19/2√5 ∴cos∠BMD=(DM BM-BD)/2BM×DM=-1/19 ∴二面角B-PC-D大小为π-arccos1/19

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