Question

设函数f(x)=x2-2x+2，x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值g(t)的表达式。

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Answer 1

在网上找的答案，应该是对的

解:∵f(x)=x^2-2x+2的对称轴为直线x=1

∴若x∈[t,t+1]，求f(x)的判大物值域有以下三种情况

(1)当t+1≤1(即t≤0时)

∵f(x)=x^2-2x+2在(-∞,1)上单调递减,x∈[t,t+1]

∴f(x)≥f(t+1),即f(x)≥t^2+1

∵x∈[t,t+1]的最小值是g(t)

∴仿灶g(t)=t^2+1(t≤0)

(2)当t≥1时

∵x^2-2x+2在(1,+∞)上掘液单调递减,x∈[t,t+1]

∴f(x))≥f(t),即f(x)≥t^2-2t+2

∵x∈[t,t+1]的最小值是g(t)

∴g(t)=t^2-2t+2(t≥1)

(3)当t<1且t+1>1(即0<t<1)时,

∵f(x)=x^2-2x-3的对称轴为直线x=1

∴f(x)≥f(1),即f(x)≥1

∵x∈[t,t+1]的最小值是g(t)

∴g(t)=1(0<t<1)

Answer 2

f(x)=(x-1)^2+1
开口向上枯孙，对称轴为x=1
讨论t
1)当t<0时，函数在[t,t+1]单调减，最小值g(t)=f(t+1)=t^2+1
2)当t>1时，函数在[t,t+1]单闭悔调增没态链，最小值g(t)=f(t)=t^2-2t+2
3)当0=<t<=1时，最小值g(t)=f(1)=1.

Answer 3

f(x)=(x-1)^2+1
当汪羡t+1≤亮族1 t≤0 g(t)=(t+1-1)^2+1=t^2+1
当t≥1 g(t)=t^2-2t+2
当0<敬陵弊t<1/2 g(t)=t^2+1
当1/2≤t<1 g(t)=t^2-2t+2