Question

已知x，y为正数，则x/（2x+y）+y/（x+2y）的最大值为多少

Answer 1

【参考答案】

x/(2x+y)+y/(x+2y)
=(x^2+4xy+y^2)/(2x^2+5xy+2y^2) (通分)
=(x^2+2.5xy+y^2+1.5xy)/(2x^2+5xy+2y^2) (转化变形，准备将分母变为1项式)
=0.5+1.5xy/(2x^2+5xy+2y^2) （分母变为1项式）
≤0.5+1.5*1/9
≤1/2+1/6
≤2/3最大值是2/3
因为x>0 y>0 所以要求xy/(2x^2+5xy+2y^2)的最大值，
就是要求(2x^2+5xy+2y^2)/xy的最小值
　　 (2x^2+5xy+2y^2)/xy
=2x/y+2y/x+5>=4+5(利用基本不等式a+b>=2*根号(ab))
　　即最小值为9

欢迎追问。。。

追问

为什么要有“因为x>0 y>0 所以要求xy/(2x^2+5xy+2y^2)的最大值，
就是要求(2x^2+5xy+2y^2)/xy的最小值
　　 (2x^2+5xy+2y^2)/xy
=2x/y+2y/x+5>=4+5(利用基本不等式a+b>=2*根号(ab))”这步？？前面不是说最大值为3分之2了么

追答

xy/(2x^2+5xy+2y^2)和(2x^2+5xy+2y^2)/xy都为正数，且互为倒数。
要求其中一个数的最大值，也就是求其倒数的最小值

追问

前面不是说最大值为3分之2了么

追答

过程是这样的：

x/(2x+y)+y/(x+2y)
=(x^2+4xy+y^2)/(2x^2+5xy+2y^2) (通分)
=(x^2+2.5xy+y^2+1.5xy)/(2x^2+5xy+2y^2) (转化变形，准备将分母变为1项式)
=0.5+1.5xy/(2x^2+5xy+2y^2) （分母变为1项式）
因为x>0 y>0 所以要求xy/(2x^2+5xy+2y^2)的最大值，
就是要求(2x^2+5xy+2y^2)/xy的最小值
　　 (2x^2+5xy+2y^2)/xy
=2x/y+2y/x+5>=4+5(利用基本不等式a+b>=2*根号(ab))
　　即最小值为9
所以x/(2x+y)+y/(x+2y)
=0.5+1.5xy/(2x^2+5xy+2y^2)
≤0.5+1.5*1/9
≤1/2+1/6
≤2/3最大值是2/3

追问

谢谢！

追答

..

Answer 2

已知x,y均为正实数,则x/(2x+y)+y/(x+2y)的最大值
x/(2x+y)+y/(x+2y)
=(x^2+4xy+y^2)/(2x^2+5xy+2y^2) (通分)
=(x^2+2.5xy+y^2+1.5xy)/(2x^2+5xy+2y^2) (转化变形，准备将分母变为1项式)
　　=0.5+1.5xy/(2x^2+5xy+2y^2) （分母变为1项式）

　　≤0.5+1.5*1/9
　　≤1/2+1/6
　　≤2/3最大值是2/3
因为x>0 y>0 所以要求xy/(2x^2+5xy+2y^2)的最大值，就是要求(2x^2+5xy+2y^2)/xy的最小值
　　 (2x^2+5xy+2y^2)/xy
=2x/y+2y/x+5>=4+5(利用基本不等式a+b>=2*根号(ab))
　　最小值为9