Question

用极限定义证明,设a为正实数,求证limn→∞ a^1/n=1 要详细的a<1时的过程

Answer 1

　　证明 lima^(1/n) = 1：
1）当 a=1 时结论是明显的；
　　2）若 a>1，记 a^(1/n) = 1+hn，有 hn>0，且
　　　a = (1+hn)^n > C(n,1)*(hn) = n(hn)，
于是，有
　　　0 < hn < a/n → 0 (n→∞)，
据夹逼定理，可知 hn → 0 (n→∞)，故证得
　　　lima^(1/n) = 1；
　　3）若 0<a<1，记 a=1/b，有 b>1，有
　　　lima^(1/n) = 1/limb^(1/n) = 1/1 = 1，
故得证。

Answer 2

n→∞时a^(1/n)=e^[(1/n)lna]→e^0=1.