Question

一道线性代数题，求解

Answer 1

由 (1,-1,2,1)^T是 AX=b 的特解知 a1-a2+2a3+a4=b
由 AX=0 的基础解系为 (1,2,0,1)^T,(-1,1,1,0)^T 得 R(A)=4-2=2
且 a1+2a2+a4=0,-a1+a2+a3=0
故 a4 =-a1-2a2, a3 = a1-a2
所以 a1,a2 是一个极大无关组
b = a1-a2+2a3+a4 = a1-a2+2(a1-a2) + (-a1-2a2) = 2a1-5a2

由上知 r(B) =r(B,b)=2, 所以 Bx=b 有无穷多解
通解为 (2,-5,0)^T+ k(-1,1,1)^T

Answer 2

1、由Ax=β的通解结构可知(1,-1,2,1)'是Ax=β的解，所以β=α1-α2+2α3+α4。
(1,2,0,1)'，(-1,1,1,0)'是Ax=0的一个基础解系，所以A的秩R(A)=4-2=2，也就是向量组α1,α2,α3,α4的秩是2。
(1,2,0,1)'，(-1,1,1,0)'是Ax=0的解，所以α1+2α2+α4=0，-α1+α2+α3=0，所以α4=-α1-2α2，α3=α1-α2，所以α3与α4可以由α1,α2线性表示，所以向量组α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组是α1,α2。
β=α1-α2+2α3+α4=α1-α2+2(α1-α2)+(-α1-2α2)=2α1-5α2。

2、B=(α1,α2,α3)的秩是2，α1,α2是α1,α2,α3的极大线性无关组，α3可以由α1,α2线性表示，又β也可以由α1,α2线性表示，所以向量组α1,α2,α3,β的秩也是2。所以系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，Bx=β有解。
因为两个秩都是2，而未知量个数是3，所以方程组Bx=β有无穷多解。
因为β=2α1-5α2，所以Bx=β有一个解是(2,-5,0)'。
Bx=0的基础解系有3-2=1个向量，因为-α1+α2+α3=0，所以Bx=0有解(-1,1,1)'，它也是Bx=0的基础解系。
所以Bx=β的通解是x=(2,-5,0)'+k(-1,1,1)'。

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附：上面的 ' 代表转置。