Question

已知三角形abc中,角bac的外角平分线交对边bc的延长线于d,求证ab：ac=bd：cd

用相似三角形

Answer 1

你既然学了相似,就一定学过平行线分线段成比例,所以我就直接用成比例证.
设∠BAC的外角为∠BAF
过B作AD的平行线,交AC於E,则BD:CD=AE:AC
且∠ABE=∠BAD,∠AEB=∠DAF
∵∠BAD=∠DAF,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE
∴BD:CD=AB:AC
如果换成是内角平分线,同样有该结论,这个叫做角平分线定理,考试的时候直接用.

Answer 2

没有作图工具，你自己画图吧，我叙述一下：
延长BA至点E，使AE=AC，连接DE，则：
AE=AC，∠DAE=∠DAC，DA=DA
——》△DAE≌△DAC，
——》CD=ED，∠AED=∠ACD=180°-∠ACB，
由正弦定理：
在△ABC中：AB/AC=sin∠ACB/sin∠B=sin∠AED/sin∠B，
在△BDE中：BD/ED=BD/CD=sin∠AED/sin∠B，
——》AB/AC=BD/CD——》AB*CD=AC*BD，
由余弦定理：
在△BAD中：cos∠BAD=(AB^2+AD^2-BD^2)/2*AB*AD，
在△EAD中：cos∠EAD=(AE^2+AD^2-ED^2)/2*AE*AD=(AC^2+AD^2-CD^2)/2*AC*AD，
∠BAD=180°-∠EAD，——》cos∠BAD=-cos∠EAD，
——》(AB^2+AD^2-BD^2)/2*AB*AD=-(AC^2+AD^2-CD^2)/2*AC*AD，
——》(AB+AC)(AB*AC+AD^2)=AC*BD^2+AB*CD^2，
AC*BD^2+AB*CD^2
=AC*BD*BD+AB*CD*CD
=AB*CD*BD+AC*BD*CD
=(AB+BC)*BD*CD，
——》(AB+AC)(AB*AC+AD^2)=(AB+BC)*BD*CD，
——》AB*AC+AD^2=BD*CD，
——》AD^2=BD*CD-AB*AC。
满意请采纳。

追问

求用一下相似啊