Question

已知：如图，在△ABC中，EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF.求证：AD=DF。

(用相似三角形的判定方法来证明)
最好写详细点

Answer 1

证明：

过A作AG//EF，分别交BE，BC于点H和G，连接HF

∵EF⊥BC，AG//EF

∴AG⊥BC

∵AB=AF

∴AG是△ABF的中垂线
∴BH=FH

∴∠HBF=∠HFB
∵EF是BC的垂直平分线

 ∴BE=CE

∴∠ECB=∠HBF
∴∠ECB=∠HFB

∴HF//AC

∵AH//EF

∴四边形AHFE为平行四边形

∵平行四边形对角线相互平分

∴AD=DF

追问

这是用相似三角形的判定方法来证明的吗？

追答

解题，需要多种方法，才能扩宽知识面

追问

那用相似三角形的判定方法应该怎么证明？

追答

证明了AEFH是平行四边形
则△ADE≌△FDH
可以证明AD=DF

追问

全等？

追答

晕倒，全等也是相似的一种.....

Answer 2

首先，过点A做出BC的平行线AP，并且同时延长线段BE，交AP于点P
很容易证明——三角形ADP和FDB之间为相似关系（证明方法：AA，角DAP = DFB，角BDF = PDA）
考察其相似比，考虑三角形BAP和AFC
由于BA = AF（题中条件，条件1）
又因为角FCA = EBC（等腰三角形），角EBC = BPA（BC和AP平行），所以角FCA = BPA（条件2）
角AFC + AFB = 180，AFB = ABF（等腰），ABF + BAP = 180（BC和AP平行），故AFC = BAP
根据AAS，BAP和AFC全等，FC = AP，
又因为FC = BF，所以BF = AP，两个三角形之间的相似比为1
所以AD = DF
望采纳

追问

哪两个三角形相似？

追答

不是写了吗？ADP和AFC，P点为辅助线做出来的点

追问

看不清楚，有点乱，写清楚点

Answer 3

做AG//BC交BE的延长线于G
因为EF垂直平分BC
所以BE=CE，BF=CF
所以∠EBC=∠C
因为AG//BC
所以∠G=∠EBC
所以∠G=∠C
因为AB=AF
所以∠ABF=∠AFB
因为∠ABF=∠ABG+∠EBC，∠AFB=∠CAF+∠C，∠EBC=∠C
所以∠ABG=∠CAF
因为AB=AG，∠G=∠C
所以△ABG≌△FAC
所以AG=CF
因为BF=CF
所以AG=CF
因为∠G=∠EBC，∠ADG=∠BDF
所以△ADG≌△FDB
所以AD=DF

追问

能写一下全等的理由么？

追答

角角边定理

Answer 4

追问

能写一下理由么？

追答

证明过程不都写出来了吗？有个地方出错了，是相似，不是全等于。
简单的说△BFD∽△CBA

∠ABF=∠AFB,因为是等腰三角形
∠EBC=∠ECB，以为EF是中垂线

追问

理由就是A.A sss SAS这些的，这里是什么理由？

追答

三个角都相等了。。AA啊

追问

那早说不就完了么，好了，现在知道了