Question

关于线性代数的问题。 非常感谢！就是红笔标注的那里不太懂。

Answer 1

我觉得你用秩的方法证明有点绕，直接用线性表示来证明还方便些。
证明如下：
因为β可由α1,α2,...,αm线性表示，所以存在数k1,k2,...,km使得
β=k1α1+k2α2+...+kmαm （1）
这里km一定不等于0，否则与β不可由α1,α2,...,αm-1线性表示矛盾。
（1）两边同除以km并适当移项，得
αm =β/km-(k1/km)α1-(k2/km)α2-...-(km-1/km)αm-1
即αm可由α1,α2,...,αm-1,β线性表示。

追问

是的，老师，这题有两种解法，就是第二种这个地方

r(a1.a2.am-1.β)=r(a1.a2.am. β )这是为什么啊。

追答

就是有两头夹得出的；你写的倒数第二行有误，注意到一定有
r(a1.a2....,am-1.)+1>=r(a1.a2....,am)
所以你的不等式应该是
r(a1.a2....,am.)=r(a1.a2....,am,.β)>=r(a1.a2....,am-1, β)=r(a1.a2....,am-1.)+1>=r(a1.a2....,am)
该不等式两头的相等，则中间被夹的也一定相等。
即有r(a1.a2....,am,.β)=r(a1.a2....,am-1, β)