Question

矩阵的秩与线性无关特征向量的个数的关系是什么?谢谢！

原题是：A的特征值有重根，λ=3有两个线性无关的特征向量，推出（3E-A)=0有两个线性无关的解，推出r(3E-A)=1
可是，A可对角化，有n个线性无关的特征向量 ，不是应该秩r(A)=n吗？为什么是n-r(A)呢？
这三者的关系我搞不懂，求大神指教！谢谢！

Answer 1

A的属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数是 齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的基础解系所含向量的个数 ,即 n-r(A-λE),r(A) 的取值,只能决定0是否特征值。

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

扩展资料：

矩阵的秩变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

|0 A |

|-B En|

所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n matrix。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

参考资料：百度百科-矩阵的秩

参考资料：百度百科-特征向量

Answer 2

A的属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数是 齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的基础解系所含向量的个数 , 即 n-r(A-λE),

r(A) 的取值,只能决定0是否特征值
r(A)<n时,0是特征值
且属于特征值0的线性无关的特征向量的个数是 n-r(A)

λ=3有两个线性无关的特征向量，推出（3E-A)=0 有两个线性无关的解，推出r(3E-A)=1

这是因为 3 - r(3E-A) = 2

Answer 3

n个线性无关特征向量是相似于对角阵的充分必要条件，与秩没有必然关系，图中即是例子。经济数学团队帮你解答，请及时评价。谢谢！

追问

看不见图呢。。
可是为什么题目里有两个线性无关的特征向量就推出r(3E-A)=1的呢？谢谢！