Question

高等数学 二重积分

Answer 1

　　被积函数是开口向下的椭圆抛物面，它与xoy面的交线是椭圆: 4x^2+y^2=4  即  x^2+y^2/2^2=1。

　　如上图。易知  z=4-4x^2-y^2，当 x^2+y^2/2^2<1时，z>0；当 x^2+y^2/2^2=1时，z=0；当 x^2+y^2/2^2>1时，z<0。二重积分的几何意义即是曲顶柱体的有向体积。当积分区域位于x^2+y^2/2^2=1内部时，因z>0,  积分大于0，区域面积越大，体积就越大，当区域边界等于x^2+y^2/2^2=1时，体积最大，意味着二重积分的值最大；当区域边界超出x^2+y^2/2^2=1时，超出部分的z<0, 从而那部分的体积也小于0，体积的总和反而缩小，意味着二重积分的值缩小。

　　所以，使二重积分的值最大的积分区域是：x^2+y^2/2^2≤1。

Answer 2

4 - 4x^2 - y^2 = 0就是要求的区域，因为出了这个区域函数值出现负值

追问

为什么呀

追答

因为被积函数嘛，出了这块区域，函数值小于0，在乘以小块面积，会使总的积分值越来越小嘛