Question

在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD．则以下结论中一定正确的个数有（

在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD．则以下结论中一定正确的个数有（　　）①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE= 2 DE． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

Answer 1

①∵BD、CE为高，∴△BEC、△BDC是直角三角形． ∵F是BC的中点，∴EF=DF= 1 2 BC．故正确； ②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD ∽ △ACE，得AD：AB=AE：AC．故正确； ③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵F是BC的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF． ∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又EF=FD，∴△DEF是等边三角形．故正确； ④若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CD． ∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD， ∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°． 所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误； ⑤当∠ABC=45°时，在Rt△BCE中，BC= 2 BE，在Rt△ABD中，AB=2AD， 由B、C、D、E四点共圆可知，△ADE ∽ △ABC， ∴ DE BC = AD AB = 1 2 ，即 DE 2 BE = 1 2 ，∴BE= 2 DE，故正确； 故此题选C．