Question

已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 b 2 = a 2 + c 2 - 3 ac，c=

已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 b 2 = a 2 + c 2 - 3 ac，c= 3 b ．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵在△ABC中， b 2 = a 2 + c 2 - 3 ac ． ∴cosB= a 2 + c 2 - b 2 2ac = 3 2 ∵B∈（0，π），∴B= π 6 …（3分） ∵c= 3 b，∴根据正弦定理，得sinC= 3 sinB= 3 sin π 6 = 3 2 ∵C∈（0，π），∴C= π 3 或C= 2π 3 …（6分） 当C= π 3 时，A=π-B-C= π 2 ；当C= 2π 3 时，A=π-B-C= π 6 综上所述，A= π 2 或 π 6 …（8分） （2）∵ b sinB = c sinC =2R ，∴b=2RsinB，c=2RsinC…（10分） 当A= π 2 时， S △ABC = 1 2 bcsinA=2 R 2 sinAsinBsinC=2 3 …（12分） 当A= π 6 时， S △ABC = 1 2 bcsinA=2 R 2 sinAsinBsinC= 3 综上所述：当A= π 2 时， S △ABC =2 3 ，当A= π 6 时， S △ABC = 3 …（14分）