Question

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限

已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限．（1）求证：以线段FA为直径的圆与Y轴相切；（2）若 FA = λ 1 AP ， BF = λ 2 FA ，求λ 2 -λ 1 的值．

Answer 1

证明：（1）由已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F（ p 2 ，0 ）， 设A（x 1 ，y 1 ），则圆心坐标为 ( 2 x 1 -p 4 ， y 1 2 ) ， 圆心到y轴的距离为 p-2 x 1 4 ．…（2分） 圆的半径为 |FA| 2 = 1 2 ( p 2 - x 1 )= p-2 x 1 4 ，…（4分） ∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．                            …（5分） （2）设P（0，y 0 ），B（x 2 ，y 2 ），由 FA = λ 1 AP ， BF = λ 2 FA ，得λ 1 ＞0，λ 2 ＞0 ( x 1 + p 2 ， y 1 )= λ 1 (- x 1 ， y 0 - y 1 ) ，… x 2 = λ 2 2 x 1 …（6分） (- p 2 - x 2 ，- y 2 )= λ 2 ( x 1 + p 2 ， y 1 ) ．（7分） ∴ x 1 + p 2 =- λ 1 x 1 ① - p 2 - x 2 = λ 2 ( x 1 + p 2 ) ② -y 2 =λ 2 y 1 ③…（10分） ∵ y 2 2 =-2p x 2 ， y 1 2 =-2p x 1 ． 将③变形为 y 2 2 = λ 2 2 y 1 2 ，∴ x 2 = λ 2 2 x 1 ．…（11分） 将代入②，整理得 x 1 =- p 2 λ 2 …（12分） 代入①得 - 1 λ 2 +1= λ 1 λ 2 ．…（13分） 即λ 2 -λ 1 =1．…（14分）