Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）试判断线段BD与CD的大小关系；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；（3）若△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）BD=CD；（2）矩形；（3）菱形

试题分析：（1）根据平行线的性质可得∠FAE=∠CDE，再结合∠AEF=∠DEC，AE=DE，即可证得△AEF≌△DEF，从而可以证得结论； （2）由AF∥BC，AF=BD可证得四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可证得四边形AFBD是矩形； （3）先根据直角三角形斜边的中线是斜边的一半可证得BD=AD，再结合四边形AFBD是平行四边形可证得四边形AFBD是菱形． （1）∵AF∥BC， ∴∠FAE=∠CDE， ∵∠AEF=∠DEC，AE=DE， ∴△AEF≌△DEF， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）∵AF∥BC，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴四边形AFBD是矩形； （3）∵∠BAC=90°，BD=CD， ∴BD=AD（直角三角形斜边的中线是斜边的一半）． ∵四边形AFBD是平行四边形， ∴四边形AFBD是菱形． 　　本题涉及了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.