Question

如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD= 3

如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD= 3 ，∠ACB=30°．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接BD，OD， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90° 又∵AB=BC， ∴AD=CD， ∴OD ∥ BC ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线．（4分） （2）在Rt△CBD中CD= 3 ，∠ACB=30°， ∴BC= CD cos30° = 3 3 2 =2， ∴AB=2． 在Rt△CDE中，CD= 3 ，∠ACB=30°， ∴DE= 1 2 CD= 1 2 × 3 = 3 2 ． 在Rt△ODE中，OE= OD 2 + DE 2 = 7 2 ．