Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE． （1）求证：∠B=∠D；（2）若AB= ，BC－AC=2，求CE的长．





Answer 1

（1）证明见解析；（2）5.

试题分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D； （2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC 2 +BC 2 =AB 2 ，可得方程：（x-2） 2 +x 2 =（ ） 2 ，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长． 试题解析：证明：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， 又∵DC=CB， ∴AD=AB， ∴∠B=∠D； （2）解：设BC=x，则AC=x-2， 在Rt△ABC中，AC 2 +BC 2 =AB 2 ， ∴（x-2） 2 +x 2 =（ ） 2 ， 解得x=3或－5（舍去）即BC=5 又∵⊙O中，∠E=∠B， ∴∠D=∠E ∴CE=CD=BC=5