Question

设函数f（x）=x2+|x-a|（x∈R，a为实数）（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞0，g(x)＝f(x)x

设函数f（x）=x2+|x-a|（x∈R，a为实数）（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞0，g(x)＝f(x)x，x∈(0，a]，若g（x）在区间（0，a]上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由已知，f（-x）=f（x）．…2分
即|x-a|=|x+a|，…3分
解得a=0…3分
（2）当x∈（0，a]时，f(x)＝x2+a?x，g(x)＝x+

a

x

?1，…7分
设x₁，x₂∈（0，a]，且x₂＞x₁＞0，于是x₁x₂-a²＜0，x₁x₂＞0．
∵f（x₁）-f（x₂）=x1+

a

x1

-1-（x2+

a

x2

?1）=（x₁-x₂）（1-

a

x1x2

）＞0
∵x₁，x₂∈（0，a]且x₁＜x₂，所以x₁x₂＜a²，
所以a≥a²，因此实数a 的取值范围是（0，1]…12分