Question

已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4 －2x 2 .(1)求函数f(x)的定义域；(2)

已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4 －2x 2 .(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求函数f(x)的值域．

Answer 1

（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0]

(1)由 得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)． (2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x) 4 －2(－x) 2 ＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4 －2x 2 ＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数． (3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4 －2x 2 ＝lg(1－x 2 )＋x 4 －2x 2 ， 设t＝1－x 2 ，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]． 所以y＝lg(1－x 2 )＋x 4 －2x 2 ＝lgt＋(t 2 －1)，t∈(0，1]， 设0<t 1 <t 2 ≤1，则lgt 1 <lgt 2 ， < ， 所以lgt 1 ＋( －1)<lgt 2 ＋( －1)， 所以函数y＝lgt＋(t 2 －1)在t∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．