Question

如图1，已知平面直角坐标系内，A（0，3），B（-4，0），C为x轴上正半轴上一点，若P为OB延长线上一点，PM

如图1，已知平面直角坐标系内，A（0，3），B（-4，0），C为x轴上正半轴上一点，若P为OB延长线上一点，PM⊥CA于M，且∠CPM=12∠BAC．（1）求C点坐标；（2）如图2，若OA2+OB2=AB2，过动点P向AB延长线作PN⊥AB于N，求证：PM-PN为定值；（3）如图3，以BC为边作等边△BCD，Q为BD边的中点．连PQ，且∠PQE=120°．QE交DC延长线于E，问：在点P运动的过程中，CP-CE是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

（1）∵PM⊥CA，
∴∠CPM+∠ACO=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠CPM=∠OAC，
又∵∠CPM=

1

2

∠BAC，
∴∠OAB=∠OAC，
在△AOB和△AOC中，

∠OAB＝∠OAC AO＝AO ∠AOB＝∠AOC

，
∴△AOB≌△AOC（ASA），
∴OC=OB=4，AB=AC，
∴点C（4，0）；

（2）∵A（0，3），B（-4，0），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AC=

32+42

=5，
∵AB=AC，
∴∠ACO=∠ABO，
∵∠PBN=∠ABO（对顶角相等），
∴∠PBN=∠ACO=∠ABO，
∴PM=PC?sin∠ACO=

3

5

PC，
PN=PB?sin∠ACO=

3

5

PB，
∴PM-PN=

3

5

PC-

3

5

PB=

3

5

BC=

3

5

×（4+4）=

24

5

，为定值；

（3）过点Q作QM⊥BC于M，作QN⊥CD于N，
∵△BCD是等边三角形，Q为BD边的中点，
∴∠CBD=∠BDC=60°，BQ=DQ，
在△BQM和△DQN中，

∠CBD＝∠BDC ∠BMQ＝∠DNQ＝90° BQ＝DQ

，
∴△BQM≌△DQN（AAS），
∴QM=QN，BM=DN，
∴BC-BM=CD-DN，
即CM=CN，
∵∠PQE=120°，∠PCE=180°-60°=120°，
∴∠QPM=∠E，
在△PMQ和△ENQ