Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒 （0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；

（2）解：Rt△ABC中，AC=

AB2?BC2

=8，
∵△ACD∽△BAC，∴

DC

AC

=

AC

AB

，
即

DC

8

＝

8

10

，
解得：DC=6.4；

（3）解：过点E作AB的垂线，垂足为G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共角，
∴△ACB∽△EGB，
∴

EG

AC

＝

BE

AB

，即

EG

8

＝

t

10

，故 EG＝

4

5

t；
y=S_△ABC-S_△BEF
=

1

2

×6×8?

1

2

(10?2t)?

4

5

t＝

4

5

t2?4t+24，
=

4

5

(t?

5

2

)2+19；
故当t=

5

2

时，
y的最小值为19．