Question

如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，CO平分∠ACB交于AB于O，D为AC上一点，且CD=CB，E为AO上一点，OE=OB，连接D

如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，CO平分∠ACB交于AB于O，D为AC上一点，且CD=CB，E为AO上一点，OE=OB，连接DE①试判断直线DE与OC的位置关系，并证明你的结论②若AD=4，CD=6，求AE的长．

Answer 1

（1）直线DE与OC相互平行．理由如下：
如图连接OD．
∵CO平分∠ACB，
∴∠1=∠2．
∵在△CDO与△CBO中，

CD＝CB ∠1＝∠2 CO＝CO

，
∴△CDO≌△CBO（SAS），
∴OD=OB，∠4=∠6．
又∵OE=OB，
∴∠3=∠5．
∵∠4+∠6=180°-∠DOE=∠3+∠5，
∴2∠4=2∠3，即∠4=∠3，
∴DE∥OC，即直线DE与OC相互平行；

（2）∵AD=4，CD=6，
∴AC=10．
∵在Rt△ABC，∠ABC=90°，
∴根据勾股定理求得AB=

AC2?BC2

=8．
设AE=x．则OD=OE=

1

2

（AB-AE）=

8?x

2

．
在直角△ADO中，AD²+OD²=OA²，即4²+（

8?x

2

）²=（x+

8?x

2

）²，
解得x=2，即AE=2．