Question

已知圆C：x2+y2=4（1）直线l过点p（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l的方程．（2）过圆C

已知圆C：x2+y2=4（1）直线l过点p（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l的方程．（2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m与y轴的交点为N，作平行四边形OMPN，求点P的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

Answer 1

（1）当k存在时，设直线l的方程为：y-2=k（x-1）------------------------------1分
即：kx-y+2-k=0
∵圆心C到直线l的距离d＝

22?( 3 )2

＝1
∴

|2?k|

k2+1

＝1----------------------------------------------------------------------------1分
化简得：4k-3=0，k＝

3

4

---------------------------------------------------------1分，
∴直线l的方程为3x-4y+5=0
当k不存在时，x=1
与圆的两个交点坐标为(1，±

3

)，其距离为2

3

，满足题意-------------1分
综上所述，所求直线l的方程为：3x-4y+5=0，x-1=0------------------2分
（2）设动点P（x，y），M（x₀，y₀），则N（0，y₀）---------------------------------------1分
∵平行四边形OMPN，∴

x0＝x y0＝ y 2

----------------------------------------------1分
又x02+y02＝4，∴x2+

y2

4

＝4------------------------------------------------2分
∵直线m∥x轴，∴y≠0
∴P点的轨迹方程是

x2

4

+

y2

16

＝1(y≠0)--------------------------------------2分
轨迹是焦点坐标为F1(0，?2

3

)、F2(0，2

3

)，长轴为8的椭圆，
并去掉（±2，0），（0，±4）两点．------------------------------------------2分．